Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ als $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ um.

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ durch Herausziehen von $\csc (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Schritt 3

Da der Exponent $\csc (x) \ln (\sin (x))$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ $0$ an.

$0$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

Schritt 5.2

Schreibe $\csc (π)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

Schritt 5.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

Schritt 5.5

Da $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 6

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$