Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{\ln (1 + \sin (x))}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} \ln (1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to π} \sin (x))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to π} x))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (π))}{π}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{π}$

Schritt 7.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{π}$

Schritt 7.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (1)}{π}$

Schritt 7.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{π}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $π$ .

$0$