Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{\tan (6 x)}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{\tan (6 x)}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} \tan (6 x)}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to π} 6 x)}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (6 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (6 π)}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (6 π)}{π}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (0)}{π}$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{π}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$