Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{2 \sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to π} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{x \to π} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{\sin^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \cos (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \cos (x)}$

Schritt 2.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$2 \frac{0}{1 + lim_{x \to π} \cos (x)}$

Schritt 2.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to π} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{0}{1 + \cos (π)}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 \frac{0}{1 - \cos (0)}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to π} \frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 2.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Schritt 2.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{0 - \sin (x)}$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $\sin (x)$ von $0$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to π} \sin (2 x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{\sin (lim_{x \to π} 2 x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{\sin (2 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{\sin (2 π)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π} - \sin (x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{- lim_{x \to π} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to π} x)}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{0}{- \sin (π)}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0}{- 0}$

Schritt 3.1.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

$lim_{x \to π} \frac{\sin (2 x)}{- \sin (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \cos (2 x)}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.8

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to π} \frac{2 \cos (2 x)}{- \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 lim_{x \to π} \frac{\cos (2 x)}{- \cos (x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to π} \cos (2 x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to π} 2 x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} - \cos (x)}$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to π} x)}{- lim_{x \to π} \cos (x)}$

Schritt 4.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to π} x)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 π)}{- \cos (lim_{x \to π} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 π)}{- \cos (π)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{\cos (2 π)}{- \cos (π)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$4 \frac{\cos (0)}{- \cos (π)}$

Schritt 6.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{- \cos (π)}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

$4 \frac{1}{- - \cos (0)}$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{- (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{- - 1}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$