Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Schreibe ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ als $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ um.

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 4.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - π)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.1.2.3.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 4.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Schritt 4.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.2

Schreibe ${(x - π)}^{2}$ als $(x - π) (x - π)$ um.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.3

Multipliziere $(x - π) (x - π)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2

Multipliziere $- π (- π)$ .

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Schritt 4.1.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.2

Subtrahiere $π x$ von $x (- π)$ .

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Schritt 4.1.3.4.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.4.2.2

Subtrahiere $π x$ von $- π x$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.7

Da $- 2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 π x$ nach $x$ gleich $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.10

Da $π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.11

Addiere $2 x - 2 π$ und $0$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 4.1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 4.1.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.1.3.12.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.1.3.12.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 4.1.3.13

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Schritt 4.1.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Schritt 4.1.3.15

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Schritt 4.1.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Schritt 4.1.3.17

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Schritt 4.1.3.18

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.18.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Schritt 4.1.3.18.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Schritt 4.1.3.18.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.1.3.18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.1.3.18.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.1.3.18.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 4.1.3.18.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 4.1.3.18.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2 π$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- π)$ heraus.

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Schritt 4.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 4.3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 4.3.1.2.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

Schritt 4.3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Schritt 4.3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Schritt 4.3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.1.3.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 4.3.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.3.2

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3.4

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 4.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 4.3.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 4.3.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 4.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Schritt 4.4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

Schritt 4.4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

Schritt 4.4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 4.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 4.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (2 π)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 4.6.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 π)}$ nach $\sec (2 π)$ um.

$\sec (2 π)$

Schritt 4.6.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sec (0)$

Schritt 4.6.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 5

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 6.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - π)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1.1.2.3.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Schritt 6.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Schritt 6.1.1.3.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 6.1.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.2

Schreibe ${(x - π)}^{2}$ als $(x - π) (x - π)$ um.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.3

Multipliziere $(x - π) (x - π)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2

Multipliziere $- π (- π)$ .

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Schritt 6.1.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.2

Subtrahiere $π x$ von $x (- π)$ .

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Schritt 6.1.3.4.2.1

Bewege $x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.4.2.2

Subtrahiere $π x$ von $- π x$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.7

Da $- 2 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 π x$ nach $x$ gleich $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.10

Da $π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.11

Addiere $2 x - 2 π$ und $0$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Schritt 6.1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 6.1.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 6.1.3.12.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 6.1.3.12.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Schritt 6.1.3.13

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Schritt 6.1.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Schritt 6.1.3.15

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Schritt 6.1.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Schritt 6.1.3.17

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Schritt 6.1.3.18

Vereinfache.

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Schritt 6.1.3.18.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Schritt 6.1.3.18.2

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Schritt 6.1.3.18.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 6.1.3.18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1.3.18.4.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 6.1.3.18.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 6.1.3.18.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 6.1.3.18.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2 π$ heraus.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- π)$ heraus.

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

Schritt 6.3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 6.3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 6.3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 6.3.1.2.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

Schritt 6.3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Schritt 6.3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

Schritt 6.3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1.3.3.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 6.3.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 6.3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 6.3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 6.3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 6.3.2

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3.4

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Schritt 6.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 6.3.3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 6.3.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 6.3.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 6.3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Schritt 6.3.3.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 6.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Schritt 6.4.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

Schritt 6.4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

Schritt 6.4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

Schritt 6.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 6.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 6.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (2 π)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

Schritt 6.6.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (2 π)}$ nach $\sec (2 π)$ um.

$\sec (2 π)$

Schritt 6.6.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sec (0)$

Schritt 6.6.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$

Schritt 7

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $1$ .

$1$