Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{1 - \sin (x)}{2 + 2 \cos (2 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} 1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to π} \sin (x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + 2 \cos (2 x)}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + lim_{x \to π} 2 \cos (2 x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 lim_{x \to π} \cos (2 x)}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (lim_{x \to π} 2 x)}$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to π} x)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 lim_{x \to π} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{1 - \sin (π)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{1 - \sin (0)}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1 - 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Schritt 11.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cos (2 π)}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2 + 2 \cos (0)}$

Schritt 11.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 + 2}$

Schritt 11.2.4

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$