Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{12 \cos (12 x)}{4 \cos (4 x)}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $12 \cos (12 x)$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 \cos (4 x)}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cos (4 x)$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 (\cos (4 x))}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to π} \frac{4 (3 \cos (12 x))}{4 \cos (4 x)}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to π} \frac{3 \cos (12 x)}{\cos (4 x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to π} \frac{\cos (12 x)}{\cos (4 x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to π} \cos (12 x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to π} 12 x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Schritt 5

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} \cos (4 x)}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{\cos (lim_{x \to π} 4 x)}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{\cos (12 lim_{x \to π} x)}{\cos (4 lim_{x \to π} x)}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (12 π)}{\cos (4 lim_{x \to π} x)}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$3 \frac{\cos (12 π)}{\cos (4 π)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$3 \frac{\cos (0)}{\cos (4 π)}$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 \frac{1}{\cos (4 π)}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$3 \frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 9.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{1}{1})$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 1$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$