Analysis Beispiele

$lim_{z \to 9} \frac{\sqrt{z}}{z - 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $9$ annähert.

$\frac{lim_{z \to 9} \sqrt{z}}{lim_{z \to 9} z - 2}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{z \to 9} z}}{lim_{z \to 9} z - 2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $9$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{z \to 9} z}}{lim_{z \to 9} z - lim_{z \to 9} 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $9$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{z \to 9} z}}{lim_{z \to 9} z - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $9$ für alle $z$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $9$ für $z$ .

$\frac{\sqrt{9}}{lim_{z \to 9} z - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $9$ für $z$ .

$\frac{\sqrt{9}}{9 - 1 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{9 - 1 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3}{9 - 1 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{9 - 2}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{3}{7}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{7}$

Dezimalform:

$0.\overline{428571}$