Analysis Beispiele

$lim_{z \to 8} {(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$ als $e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$ um.

$lim_{z \to 8} e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{z}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{z \to 8} e^{\frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{lim_{z \to 8} 1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $z$ sich $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + 3 z)}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{lim_{z \to 8} 2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $z$ ist.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $z$ ist.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $z$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $8$ für $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $8$ für $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $8$ für $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 \cdot 8)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 3 \cdot 8)}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 24)}$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (e^{16} + 24)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Dezimalform:

$7.38905859 \dots$