Analysis Beispiele

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $z$ sich an $4$ annähert.

$lim_{z \to 4} z^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $\frac{3}{2}$ von $z^{\frac{3}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - lim_{z \to 4} 3 z^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $z$ ist.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 lim_{z \to 4} z^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{2}$ von $z^{\frac{1}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $z$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $4$ für $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 {(lim_{z \to 4} z)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $z$ durch Einsetzen von $4$ für $z$ .

$4^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{2 (\frac{3}{2})} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 - 3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 6.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - 3 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 6.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$8 - 3 \cdot 2^{1}$

Schritt 6.1.8

Berechne den Exponenten.

$8 - 3 \cdot 2$

Schritt 6.1.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$8 - 6$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von $8$ .

$2$