Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 16} x - 4}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - lim_{x \to 16} 4}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 4}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 4}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{16 - 4}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$\frac{12}{\sqrt{x} - 16}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{12}{\sqrt{x} - 16}$ mit $\frac{\sqrt{x} + 16}{\sqrt{x} + 16}$ .

$\frac{12}{\sqrt{x} - 16} \cdot \frac{\sqrt{x} + 16}{\sqrt{x} + 16}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{12}{\sqrt{x} - 16}$ mit $\frac{\sqrt{x} + 16}{\sqrt{x} + 16}$ .

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{(\sqrt{x} - 16) (\sqrt{x} + 16)}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 16 - 16 \sqrt{x} - 256}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 256}$

Schritt 3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 256}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{x^{\frac{2}{2}} - 256}$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{x^{\frac{2}{2}} - 256}$

Schritt 3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{x^{1} - 256}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache.

$\frac{12 (\sqrt{x} + 16)}{x - 256}$