Analysis Beispiele

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ als ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ um.

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\frac{1}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2}$ um.

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

Schritt 2.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{h + 2}$ und $b = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Um $\frac{1}{h + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(h + 2) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{h + 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.3.3

Stelle die Faktoren von $(h + 2) \cdot 2$ um.

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.6

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.7

Um $\frac{1}{h + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

Schritt 2.1.5.8

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Schritt 2.1.5.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(h + 2) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.5.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{h + 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

Schritt 2.1.5.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{h + 2}{h + 2}$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Schritt 2.1.5.9.3

Stelle die Faktoren von $(h + 2) \cdot 2$ um.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

Schritt 2.1.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.5.11

Schreibe $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.5.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.5.11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.5.11.3

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.5.11.4

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ mit $\frac{h}{2 (h + 2)}$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

Schritt 2.1.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

Schritt 2.1.7.4

Potenziere $h + 2$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

Schritt 2.1.7.5

Potenziere $h + 2$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

Schritt 2.1.7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

Schritt 2.1.7.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- (h + 4) h$ heraus.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$