Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 1} x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 + 3 \cdot 1^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 + 3 \cdot 1}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1 + 3}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 (x^{2}) + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Schreibe $4$ um als $1$ plus $3$

$\frac{4}{{(3 x^{4} + (1 + 3) x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 1 x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(3 x^{4} + x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4}{{((3 x^{4} + x^{2}) + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4}{{(x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1))}^{3}}$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{{((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}^{3}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $(3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ an.

$\frac{4}{{(3 x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}}$