Analysis Beispiele

$lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $y^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $y$ ist.

$\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $y$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $2$ für $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ und $2$ .

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2^{3}$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2}$

Schritt 7.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1)}$

Schritt 7.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1}$

Schritt 7.1.4.4

Dividiere $2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$ durch $1$ .

$2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 3} + 4 \cdot 2$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{4} + 4 \cdot 2$

Schritt 7.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + 4 \cdot 2$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$16 + 8$

Schritt 7.3

Addiere $16$ und $8$ .

$24$