Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (1)}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \ln (1)}$

Schritt 1.1.3.5.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Schritt 1.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Schritt 1.3.9.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{1}{x}}$

Schritt 1.3.10

Vereinfache.

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Schritt 1.3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

Schritt 1.3.10.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + 1}$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 + x}{x}}$

Schritt 2

Da die Funktion von links gegen $- \infty$ geht und von rechts gegen $\infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$