Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x} {(3 + 5 x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(3 + 5 x)}^{2}$ als $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{x} ((3 + 5 x) (3 + 5 x))]$

Schritt 2

Multipliziere $(3 + 5 x) (3 + 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 (3 + 5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x (3 + 5 x))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (3 \cdot 3 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 3 (5 x) + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 5 x \cdot 3 + 5 x (5 x))]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 x (5 x))]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 (x \cdot x))]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 5 \cdot 5 x^{2})]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 15 x + 15 x + 25 x^{2})]$

Schritt 3.2

Addiere $15 x$ und $15 x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (9 + 30 x + 25 x^{2})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 + 30 x + 25 x^{2}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [9 + 30 x + 25 x^{2}] + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 30 x + 25 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.4

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} (30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$e^{x} (30 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.7

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (30 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{x} (30 + 25 (2 x)) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (30 + 50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + (9 + 30 x + 25 x^{2}) e^{x}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} \cdot 30 + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Bringe $30$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$30 \cdot e^{x} + e^{x} (50 x) + 9 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Schritt 7.3.2

Addiere $30 e^{x}$ und $9 e^{x}$ .

$e^{x} (50 x) + 39 e^{x} + 30 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Schritt 7.3.3

Addiere $e^{x} (50 x)$ und $30 x e^{x}$ .

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Schritt 7.3.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$50 x e^{x} + 30 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Schritt 7.3.3.2

Addiere $50 x e^{x}$ und $30 x e^{x}$ .

$80 x e^{x} + 39 e^{x} + 25 x^{2} e^{x}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$

Schritt 7.5

Stelle die Faktoren in $80 e^{x} x + 25 e^{x} x^{2} + 39 e^{x}$ um.

$80 x e^{x} + 25 x^{2} e^{x} + 39 e^{x}$