Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Die logarithmische Basis $4$ von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Schritt 2.1.3.3

Die logarithmische Basis $2$ von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\log_{4} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\log_{2} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Schritt 2.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{x}{x \ln (4)}$ und $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Schritt 3.2.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$