Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 0.001} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 0.001$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 0.001} \sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 0.001$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 0.001} \sqrt{x + 2} - lim_{x \to - 0.001} \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 0.001} x + 2} - lim_{x \to - 0.001} \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 0.001$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 0.001} x + lim_{x \to - 0.001} 2} - lim_{x \to - 0.001} \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 0.001$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 0.001} x + 2} - lim_{x \to - 0.001} \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 0.001$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to - 0.001} x + 2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 0.001$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 0.001$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{- 0.001 + 2} - \sqrt{2}}{lim_{x \to - 0.001} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 0.001$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{- 0.001 + 2} - \sqrt{2}}{- 0.001}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Addiere $- 0.001$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{1.999} - \sqrt{2}}{- 0.001}$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{1.999} - \sqrt{2}}{0.001}$

Schritt 8.3

Berechne die Wurzel.

$- \frac{1.41385996 - \sqrt{2}}{0.001}$

Schritt 8.4

Berechne die Wurzel.

$- \frac{1.41385996 - 1 \cdot 1.41421356}{0.001}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.41421356$ .

$- \frac{1.41385996 - 1.41421356}{0.001}$

Schritt 8.6

Subtrahiere $1.41421356$ von $1.41385996$ .

$- \frac{- 0.00035359}{0.001}$

Schritt 8.7

Dividiere $- 0.00035359$ durch $0.001$ .

$- - 0.35359759$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.35359759$ .

$0.35359759$