Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x^{6}$ von $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 5 x^{3}$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{6} - 5 x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{6}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $x^{3} (x^{3} - 5)$ als $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Schritt 3.1.2.2

Füge Klammern hinzu.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $- 5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Schritt 4

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 6.2

Addiere $1$ und $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 7.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 5 x$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ heraus.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 8

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ ist.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 11.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 11.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 12

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{3}$ ist.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 13.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 14

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{3}}$ $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Schritt 15.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.4.1

Dividiere $1 - 5 \cdot 0$ durch $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Schritt 15.4.2

Dividiere $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ durch $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Schritt 15.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.4.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Schritt 15.4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Schritt 15.4.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Schritt 15.4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Schritt 15.4.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Schritt 15.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$- 2.5$