Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{x}) e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (\frac{π}{x})}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})}$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cos (\frac{π}{x})$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cos (\frac{π}{x})$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{1}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 \cdot e^{1}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$0 \cdot e$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$0$