Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}}$ als $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({\cos (x)}^{\frac{7}{x^{2}}})$ durch Herausziehen von $\frac{7}{x^{2}}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{7}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{7}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{7}{x^{2}}$ und $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{7 \ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{7 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{7 \frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{7 \frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{7 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{7 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{7 \frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \frac{0}{0^{2}}}$

Schritt 3.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{7 (\frac{0}{0})}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{2 x}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{7 \cdot - 1 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Schritt 5.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cos (x)}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 5.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 5.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}}$

Schritt 5.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.4.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0 \cdot 1}}$

Schritt 5.1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{0}{0}}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Schritt 5.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}}$

Schritt 5.3.7

Stelle die Terme um.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{- x \sin (x) + \cos (x)}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}{lim_{x \to 0^{+}} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Schritt 6.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 6.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Schritt 6.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{- lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 7.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$e^{- 7 (\frac{1}{2}) \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 7}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}}$

Schritt 8.5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

Schritt 8.5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 8.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 8.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

Schritt 8.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- \frac{7}{2} \cdot 1}$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{- \frac{7}{2}}$

Schritt 8.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{e^{\frac{7}{2}}}$

Dezimalform:

$0.03019738 \dots$