Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ mit $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.2

Bewege $\sqrt{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{1 + t}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.4

Potenziere $\sqrt{1 + t}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7

Schreibe ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ als $1 + t$ um.

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Schritt 2.1.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + t}$ als ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.1.2.7.5

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{t}$ mit $\frac{1 + t}{1 + t}$ .

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + t}$ als ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $1 + t$ als ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.3

Es sei $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.4.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.4.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.4.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

Schritt 2.5.5

Ersetze alle $u$ durch ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

Schritt 2.6

Bringe ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.7

Multipliziere $1 + t$ mit ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ mit $1 + t$ .

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Schritt 2.7.2.1

Potenziere $1 + t$ mit $1$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

Schritt 2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.7.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$