Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.3.10.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.3.10.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Schritt 1.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 1.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 1.3.13

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Schritt 1.3.14

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Schritt 1.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x + 1)$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1)$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ mit $x + 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $2 \sqrt{x}$ gegen null geht und größer als null ist für Werte von $x$ unmittelbar rechts von $0$ , steigt die Funktion ohne Grenzen an.

$\infty$