Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $\tan (x) \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 2.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Schritt 2.1.3.2

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Schritt 2.3.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.8

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.13

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.14

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.15

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18

Vereinfache.

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Schritt 2.3.18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.18.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3.18.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{0}{0}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.4.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Schritt 4.4

Dividiere $\sin (2 x)$ durch $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Schritt 5.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \sin (2 \cdot 0)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \sin (0)$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$