Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} 12 {\sin (x)}^{14 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{14 x}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sin (x)}^{14 x}$ als $e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$ um.

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({\sin (x)}^{14 x})$ durch Herausziehen von $14 x$ aus dem Logarithmus.

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{14 x \ln (\sin (x))}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$12 e^{lim_{x \to 0^{+}} 14 x \ln (\sin (x))}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$12 e^{14 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \ln (\sin (x))$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \ln (\sin (x))$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$12 e^{14 \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $14$ mit $0$ .

$12 e^{0}$

Schritt 6.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$12 \cdot 1$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12$