Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4} \cdot \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{1.4} \cdot \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{1.4}}}$

Schritt 2.1.3.2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $x^{1.4}$ gegen null geht und größer als null ist für Werte von $x$ unmittelbar rechts von $0$ , steigt die Funktion ohne Grenzen an.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 x^{- 2.4}}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 \frac{1}{x^{2.4}}}$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $- 1.4$ und $\frac{1}{x^{2.4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1.4}{x^{2.4}}}$

Schritt 2.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1.4}{x^{2.4}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{2.4}}{1.4})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{x^{2.4}}{1.4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2.4}}{x \cdot 1.4}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2.4}$ und $x$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2.4}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1.4$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x (1.4)}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{1.4}}{1.4}$

Schritt 2.7

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4}$

Schritt 2.8

Faktorisiere $1.4$ aus $1.4$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4 (1)}$

Schritt 2.9

Separiere Brüche.

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{1}{1.4} \cdot \frac{x^{1.4}}{1})$

Schritt 2.10

Dividiere $1$ durch $1.4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} \frac{x^{1.4}}{1})$

Schritt 2.11

Dividiere $x^{1.4}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} x^{1.4})$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $0.\overline{714285}$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - 0.\overline{714285} x^{1.4}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 0.\overline{714285}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 0.\overline{714285} lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4}$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $1.4$ von $x^{1.4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 0.\overline{714285} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{1.4}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0^{1.4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 0.\overline{714285} \cdot 0$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 0.\overline{714285}$ mit $0$ .

$0$