Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} \tan^{2} (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (2 x - 2)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2))}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\tan^{2} (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\tan^{2} (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (2 x - 2)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (2 x - 2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x - 2$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.11

Stelle die Faktoren von $4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Schritt 1.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.14

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.3.14.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.14.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.14.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

Schritt 1.3.15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + 0}$

Schritt 1.3.16

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 x - 2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 x - 2}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) - 2}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) + 2 (- 1)}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

Schritt 1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

Schritt 1.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (2 x - 2)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} \sec (2 x - 2))}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.5

Mutltipliziere $\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)$ mit $1$ .

$2 \frac{\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.12.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{\tan (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{\tan (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.2.12.8

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$2 (\frac{0}{0})$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (2 x - 2)$ und $g (x) = \tan (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 2 x - 2$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $\sec^{2} (2 x - 2)$ mit $\sec^{2} (2 x - 2)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 lim_{x \to 1} \frac{{\sec (2 x - 2)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + 0) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.10

Addiere $2$ und $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \cdot 2 + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{4} (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (2 x - 2)$ .

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Schritt 3.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.12.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (2 x - 2)$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \cdot \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.14

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 2 x - 2$ .

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Schritt 3.3.14.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.14.2

Die Ableitung von $\sec (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.14.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x - 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.15

Potenziere $\tan (2 x - 2)$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.16

Potenziere $\tan (2 x - 2)$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 {\tan (2 x - 2)}^{1 + 1} \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.18

Addiere $1$ und $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.19

Potenziere $\sec (2 x - 2)$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.20

Potenziere $\sec (2 x - 2)$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) {\sec (2 x - 2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.23

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.24

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.25

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.26

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.27

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.28

Addiere $2$ und $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.29

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 4 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30

Vereinfache.

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Schritt 3.3.30.1

Stelle die Terme um.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.30.2.1

Schreibe $\sec (2 x - 2)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{2} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ an.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.5

Schreibe $\tan (2 x - 2)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} {(\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)})}^{2} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)}$ an.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.7

Kombinieren.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2) \cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.8

Multipliziere $\cos^{2} (2 x - 2)$ mit $\cos^{2} (2 x - 2)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.30.2.8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{{\cos (2 x - 2)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.8.2

Addiere $2$ und $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.9

Schreibe $\sec (2 x - 2)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{4}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ an.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.2.12

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + \frac{2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.4

Faktorisiere $2$ aus $4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2$ heraus.

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Schritt 3.3.30.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sin^{2} (2 x - 2)$ heraus.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2 (1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.30.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 \sin^{2} (2 x - 2)) + 2 (1)$ heraus.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.31

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.32

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.3.33

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + 0}$

Schritt 3.3.34

Addiere $1$ und $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ mit $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 \frac{2 lim_{x \to 1} \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (2 x - 2)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \cdot 2 \frac{2 {(lim_{x \to 1} \sin (2 x - 2))}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

Schritt 4.11

Ziehe den Exponenten $4$ von $\cos^{4} (2 x - 2)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{{(lim_{x \to 1} \cos (2 x - 2))}^{4}}$

Schritt 4.12

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}$

Schritt 4.13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}$

Schritt 4.14

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}$

Schritt 4.15

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$4 \frac{2 \sin^{2} (0) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \frac{2 \cdot 0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$4 \frac{0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 6.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 2)}$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$4 \frac{1}{\cos^{4} (0)}$

Schritt 6.3.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{1^{4}}$

Schritt 6.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$