Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (\frac{π}{x})$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (\frac{π}{x})$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (\frac{π}{x})$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sin (\frac{π}{x})$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0^{3} \cdot 0 = 0$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Multipliziere $0^{3}$ mit $0$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $0^{3}$ mit $0$ .

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Schritt 9.1.1.1

Potenziere $0$ mit $1$ .

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

Schritt 9.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0^{3 + 1} = 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$0^{4} = 0$

Schritt 9.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 = 0$