Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (0)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $x \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$1$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $x \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $1$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $x \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $1$ .

$\frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (0)}$ nach $\sec (0)$ um.

$\sec (0)$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$