Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.5.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.4.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 1.3.12

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.13

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

Schritt 1.3.14

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Schritt 1.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3.17

Vereinfache.

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Schritt 1.3.17.1

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $\cos^{2} (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.3.17.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.3

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.17.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.3.17.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) (- \sin (x))$ und $\sin (x) \cos (x)$ neu an.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.4.2

Addiere $- \cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.4.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.17.5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.17.5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}$

Schritt 1.3.17.5.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.17.5.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}$

Schritt 1.3.17.5.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}$

Schritt 1.3.17.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.17.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.3.17.6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{2}{\cos (0)}$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{2}{1}$

Schritt 4.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$