Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} x^{2} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$0^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x^{2}}) \\ - 0.1 & 0.86231887 \\ - 0.01 & - 0.92173957 \\ - 0.001 & - 0.92173957 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $- 0.922$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ für $x$ gegen $0$ gleich $- 0.922$ .

$- 0.922$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{1}{x^{2}})$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{1}{x^{2}}) \\ 0.1 & 0.86231887 \\ 0.01 & - 0.92173957 \\ 0.001 & - 0.92173957 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $- 0.922$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cos (\frac{1}{x^{2}})$ für $x$ gegen $0$ gleich $- 0.922$ .

$0^{2} \cdot - 0.922$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot - 0.922$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 0.922$ .

$0$