Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot e^{0} - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 - 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 2 x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{4} - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.7.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3} - 0^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0 - 0^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 0^{2}}$

Schritt 1.1.3.7.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 - 0}$

Schritt 1.1.3.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Schritt 1.1.3.7.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.1.3.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - x^{2}}{x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x} - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{x} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.3.4

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} + e^{x} - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x - 2 x + e^{x}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{3} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.8.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - (2 x)}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{x} - 2 x + e^{x}}{4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x}$

Schritt 2

Da die Funktion von links gegen $\infty$ geht und von rechts gegen $- \infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$