Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2}) \cot (x^{2})$ als $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 2

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 3

Berechne den linksseitigen Grenzwert.

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Schritt 3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 3.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 3.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 3.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Schreibe $\cot (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ zu dividieren.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ nach $\tan (x^{2})$ um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Schritt 3.1.1.3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Schritt 3.1.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Schritt 3.1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.1.3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 3.1.1.3.4.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.3

Schreibe $\cot (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Schritt 3.1.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.6.1

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 3.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x^{2})$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.8.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.9

Potenziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.10

Potenziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.14

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1.3.14.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.14.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.14.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.16

Mutltipliziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.17

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.18

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.3.22.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

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Schritt 3.1.3.22.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ heraus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22.2

Ordne Terme um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.3.22.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Schritt 3.1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 3.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Schritt 3.1.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Schritt 3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Schritt 3.1.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Schritt 3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Schritt 3.1.6.2.2

Dividiere $\cos^{2} (x^{2})$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x^{2})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Schritt 3.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Schritt 3.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Schritt 3.4.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 3.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$

Schritt 4

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 5

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 5.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 5.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.1.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 5.1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 5.1.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Schritt 5.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 5.1.1.3.1.1

Schreibe $\cot (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Schritt 5.1.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ zu dividieren.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Schritt 5.1.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ nach $\tan (x^{2})$ um.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Schritt 5.1.1.3.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.1.3.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Schritt 5.1.1.3.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Schritt 5.1.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Schritt 5.1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.1.3.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 5.1.1.3.4.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.3

Schreibe $\cot (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Schritt 5.1.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.6.1

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Schritt 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.8.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.9

Potenziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.10

Potenziere $\cos (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.14

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.14.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.14.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.14.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.16

Mutltipliziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.17

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.18

Potenziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.22.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

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Schritt 5.1.3.22.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22.2

Ordne Terme um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.3.22.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Schritt 5.1.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Schritt 5.1.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Schritt 5.1.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Schritt 5.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Schritt 5.1.6.2.2

Dividiere $\cos^{2} (x^{2})$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.2.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x^{2})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Schritt 5.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Schritt 5.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Schritt 5.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Schritt 5.4.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1^{2}$

Schritt 5.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$

Schritt 6

Da der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert ist, ist der Grenzwert gleich $1$ .

$1$