Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x + 10)}{4 x + 8}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x + 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + 8}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x + 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + 8}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + 8}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + 8}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x + 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + 8}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x + 10)}{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 8}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x + 10)}{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 8}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x + 10)}{4 lim_{x \to 0} x + 8}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0 + 10)}{4 lim_{x \to 0} x + 8}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0 + 10)}{4 \cdot 0 + 8}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0 + 10)}{4 \cdot 0 + 8}$

Schritt 10.1.2

Addiere $0$ und $10$ .

$\frac{\sin (10)}{4 \cdot 0 + 8}$

Schritt 10.1.3

Berechne $\sin (10)$ .

$\frac{0.17364817}{4 \cdot 0 + 8}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0.17364817}{0 + 8}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{0.17364817}{8}$

Schritt 10.3

Dividiere $0.17364817$ durch $8$ .

$0.02170602$