Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (4 x)$ .

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

Schritt 1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$

Schritt 2

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\sin (5 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (6 x)}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $\sin (5 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

Schritt 2.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (6 x)}$ nach $\csc (6 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \csc (6 x)$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (5 x) \csc (6 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ - 0.1 & 0.84907806 \\ - 0.01 & 0.83348615 \\ - 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.833$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (5 x) \csc (6 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.833$ .

$0.833$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (5 x) \csc (6 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ 0.1 & 0.84907806 \\ 0.01 & 0.83348615 \\ 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0.833$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sin (5 x) \csc (6 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0.833$ .

$0.833$