Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Schritt 10

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Schritt 11

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (\frac{2 π}{x})$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Schritt 12

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (\frac{2 π}{x})$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 13

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Schritt 14

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (\frac{2 π}{x})$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Schritt 15

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sin (\frac{2 π}{x})$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Schritt 16.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.7.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Schritt 16.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Schritt 16.8

Addiere $1$ und $0$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 16.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$