Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sin (4 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $\sin (4 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Schritt 3

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (4 x) \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $4$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\sin (4 x) \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $4$ .

$4$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Schritt 7

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\sin (4 x) \csc (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Schritt 8

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $4$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\sin (4 x) \csc (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $4$ .

$\sqrt{4}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}}$

Schritt 9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2$