Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x)}{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\tan (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sec^{2} (x)}{2 x}$

Schritt 2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $2 x$ gegen null geht und kleiner als null ist für Werte von $x$ unmittelbar links von $0$ , fällt die Funktion ohne Grenzen ab.

$- \infty$