Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Schritt 1

Ziehe den Term $5 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 5

Ziehe den Term $2 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 7

Ziehe den Term $\frac{5 π}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.3

Schreibe $\sec (0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (0)}$ zu dividieren.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.7

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.9

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Schritt 13.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Schritt 13.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Schritt 13.3

Addiere $2 π$ und $0$ .

$5 π (2 π)$

Schritt 13.4

Multipliziere $5 π (2 π)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 π π$

Schritt 13.4.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Schritt 13.4.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Schritt 13.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 π^{1 + 1}$

Schritt 13.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$10 π^{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$10 π^{2}$

Dezimalform:

$98.69604401 \dots$