Analysis Beispiele

$lim_{x \to 16} \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 4}{lim_{x \to 16} x^{2} - 4 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - lim_{x \to 16} 4}{lim_{x \to 16} x^{2} - 4 x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 16} x^{2} - 4 x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $16$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 16} x^{2} - lim_{x \to 16} 4 x}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 16} x)}^{2} - lim_{x \to 16} 4 x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 16} x - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 16} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 16} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $16$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 4}{{(lim_{x \to 16} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 16} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 4}{16^{2} - 4 lim_{x \to 16} x}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $16$ für $x$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 4}{16^{2} - 4 \cdot 16}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{16 - 4}{16^{2} - 4 \cdot 16}$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$\frac{12}{16^{2} - 4 \cdot 16}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\frac{12}{256 - 4 \cdot 16}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$\frac{12}{256 - 64}$

Schritt 8.2.3

Subtrahiere $64$ von $256$ .

$\frac{12}{192}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $192$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 (1)}{192}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $192$ heraus.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{16}$

Dezimalform:

$0.0625$