Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \frac{t^{3} + 8}{t + 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{t^{3} + 8}{t + 2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\frac{t^{3} + 8}{t + 2}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{t^{3} + 2^{3}}{t + 2}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = t$ und $b = 2$ .

$\frac{(t + 2) (t^{2} - t \cdot 2 + 2^{2})}{t + 2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(t + 2) (t^{2} - 2 t + 2^{2})}{t + 2}$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(t + 2) (t^{2} - 2 t + 4)}{t + 2}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t + 2$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(t + 2) (t^{2} - 2 t + 4)}{t + 2}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $t^{2} - 2 t + 4$ durch $1$ .

$t^{2} - 2 t + 4$