Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1^{-}} \sqrt{\frac{x + 4}{x + 9}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 1^{-}} \frac{x + 4}{x + 9}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + lim_{x \to 1^{-}} 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + lim_{x \to 1^{-}} 9}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 1^{-}} x + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 4}{lim_{x \to 1^{-}} x + 9}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 4}{1 + 9}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{1 + 9}}$

Schritt 8.2

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{10}}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (1)}{10}}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.7.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 8.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$