Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\tan (6 x)}{\sin (3 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (6 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (3 x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}}{\sin (3 x)}$ als ein Produkt um.

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wandle von $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ nach $\tan (6 x)$ um.

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \frac{1}{\sin (3 x)}$

Schritt 1.3.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (3 x)}$ nach $\csc (3 x)$ um.

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \csc (3 x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} \tan (6 x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\tan (lim_{x \to 1} 6 x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} \csc (3 x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot \csc (lim_{x \to 1} 3 x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (6 lim_{x \to 1} x) \cdot \csc (3 lim_{x \to 1} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\tan (6 \cdot 1) \cdot \csc (3 lim_{x \to 1} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\tan (6 \cdot 1) \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\tan (6) \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Schritt 8.2

Berechne $\tan (6)$ .

$0.10510423 \cdot \csc (3 \cdot 1)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0.10510423 \cdot \csc (3)$

Schritt 8.4

Berechne $\csc (3)$ .

$0.10510423 \cdot 19.1073226$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $0.10510423$ mit $19.1073226$ .

$2.00826053$