Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x)}{\tan (7 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (7 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x)}{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}$

Schritt 1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 1.3

Wandle von $\frac{\sin (8 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ nach $\sin (8 x) \cot (7 x)$ um.

$lim_{x \to 1} \sin (8 x) \cot (7 x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$lim_{x \to 1} \sin (8 x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 1} 8 x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

Schritt 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot \cot (lim_{x \to 1} 7 x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot \cot (7 lim_{x \to 1} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sin (8 \cdot 1) \cdot \cot (7 lim_{x \to 1} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\sin (8 \cdot 1) \cdot \cot (7 \cdot 1)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\sin (8) \cdot \cot (7 \cdot 1)$

Schritt 8.2

Berechne $\sin (8)$ .

$0.1391731 \cdot \cot (7 \cdot 1)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0.1391731 \cdot \cot (7)$

Schritt 8.4

Berechne $\cot (7)$ .

$0.1391731 \cdot 8.14434642$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $0.1391731$ mit $8.14434642$ .

$1.13347394$