Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \ln ({(x)}^{x - 1})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 1} {(x)}^{x - 1})$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x)}^{x - 1}$ als $e^{\ln ({(x)}^{x - 1})}$ um.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{\ln ({(x)}^{x - 1})})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(x)}^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 1} e^{(x - 1) \ln (x)})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x)})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)})$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (e^{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\ln (e^{(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1)$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$(1 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 - 1) \cdot \ln (1) \ln (e)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Schritt 5.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0 \cdot 0 \ln (e)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0 \ln (e)$

Schritt 5.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$