Analysis Beispiele

$f (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}} + 4 x^{2} - \frac{3 \sqrt{x}}{4}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \frac{2}{x^{3}} + 4 x^{2} - \frac{3 \sqrt{x}}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$0 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$0 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$0 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$0 + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$0 + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$0 + 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 \sqrt{x}}{4}]$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{4}]$

Schritt 4.2

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{8}$

Schritt 4.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Schritt 4.13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 6 x^{- 4} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 6 \frac{1}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$0 + \frac{- 6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - \frac{6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $\frac{6}{x^{4}}$ von $0$ .

$- \frac{6}{x^{4}} + 8 x - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$8 x - \frac{6}{x^{4}} - \frac{3}{8 x^{\frac{1}{2}}}$