Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (x) - \ln (\sqrt{x})}$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 lim_{x \to 1} \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 \ln (lim_{x \to 1} x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 \ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (1) + 2 \ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{4 \ln (1) + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.8.1.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0 + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0 + 2 \ln (1)}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.2.8.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}})}$

Schritt 2.1.3.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}})}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}})}$

Schritt 2.1.3.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{\sqrt{1}})}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.5.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{1})}$

Schritt 2.1.3.5.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 2.1.3.5.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.5.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (x^{3})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.5

Kombiniere $\frac{3}{x^{3}}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 2.3.4.6.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{3}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.7

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{2 \cdot 3}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 + 6}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $4$ und $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

Schritt 2.3.6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}})]}$

Schritt 2.3.7

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]}$

Schritt 2.3.8

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{- \frac{1}{2}})]}$

Schritt 2.3.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 - \frac{1}{2}})]}$

Schritt 2.3.8.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}})]}$

Schritt 2.3.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{2 - 1}{2}})]}$

Schritt 2.3.8.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.9.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.9.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.9.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Schritt 2.3.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Schritt 2.3.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Schritt 2.3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 2.3.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.18

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.19

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.20

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.20.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.20.1.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}$

Schritt 2.3.20.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}$

Schritt 2.3.20.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}$

Schritt 2.3.20.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.3.20.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{1}}}$

Schritt 2.3.20.2

Vereinfache $2 x^{1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{10}{x} (2 x)$

Schritt 2.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{10}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 10}{x} x$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{20}{x} x$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{20}{x}$ und $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{20 x}{x}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{20 x}{x}$

Schritt 2.6.2

Dividiere $20$ durch $1$ .

$lim_{x \to 1} 20$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $20$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$20$