Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x^{- \frac{1}{3}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1.1

Wandle negative Exponenten in Brüche um.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - x^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.1.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}}{\frac{x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} (\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.5

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 - 1) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.2.7.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{1} \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.7.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Mutltipliziere $1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.7.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 2.1.3.7.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.7.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(\sqrt[3]{x} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{3}} - 1) x^{\frac{2}{3}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 1$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{3}} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.17.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.19

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.20

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.21

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.22

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.23

Kombiniere $x^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.24

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.25

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.26

Um $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.27

Kombiniere $(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot 3 + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.29

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.30

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.31

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.32

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.32.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.32.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.32.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(x^{\frac{1}{3}} - 1) \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.2.1.2

Schreibe $- 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ als $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + 1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.33.3.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.5

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.33.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.34

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)]}$

Schritt 2.3.35

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1] + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.36

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{2}{3}} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.37

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.38

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.39

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.40

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.41

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.41.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.41.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.42

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.43

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.44

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.45

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0) + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.46

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{1}{3}} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.47

Kombiniere $x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.48

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.49

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.50

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Schritt 2.3.51

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}$

Schritt 2.3.52

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}$

Schritt 2.3.53

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}$

Schritt 2.3.54

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}$

Schritt 2.3.55

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.55.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}$

Schritt 2.3.55.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}$

Schritt 2.3.56

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}$

Schritt 2.3.57

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}$

Schritt 2.3.58

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 2.3.59

Um $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.3.60

Kombiniere $(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2}{3} + \frac{(x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.3.61

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.3.62

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.63

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{3}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.64

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65

Vereinfache.

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Schritt 2.3.65.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.65.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.65.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.3.65.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + x^{\frac{2}{3}} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.2.1.2

Schreibe $- 1 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als $- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{2 + 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.65.3.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}}{3}}$

Schritt 2.3.65.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 2.3.65.5

Mutltipliziere $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}}$

Schritt 2.3.65.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\frac{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{\frac{1}{3}} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 2.5

Wandle die gebrochene Exponenten in Wurzelausdrücke um.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $\sqrt[3]{x}$ um.

$lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt[3]{x} - 2}{3 \sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 1} \frac{(3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{\sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} (3 \sqrt[3]{x} - 2) (x^{\frac{2}{3}})}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - 2 \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(lim_{x \to 1} 3 \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.7

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 1)}$

Schritt 3.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 1} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 3.9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 1}$

Schritt 3.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} 3 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 3.11

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 lim_{x \to 1} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 3.12

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 1} 1)}$

Schritt 3.13

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{(3 \sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{lim_{x \to 1} x} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{(3 \sqrt[3]{1} - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(3 - 1 \cdot 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(3 - 2) \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $1^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot (3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} (3 - 1)}$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{1} \cdot 2}$

Schritt 5.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{1 \cdot 2}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$