Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{3} + x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + x}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} x}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1