Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 + \ln (x)}{x^{3} - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.2.5.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 + \ln (x)}{x^{3} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2} + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + 1}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 + x}{x}}{3 x^{2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 + x}{x}}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{1 + x}{x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{lim_{x \to 1} 1 + x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{lim_{x \to 1} x}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{1}}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{1 + 1}{1}}{1^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{1 \frac{1 + 1}{1}}{3 \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.2

Dividiere $1 + 1$ durch $1$ .

$\frac{1 (1 + 1)}{3 \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $1 + 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1}{3 \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 + 1}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{6}$